Zentralblatt der Bauverwaltung:

Nr. 441. 
Centralblatt der Bauverwaltung. 
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Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks. 
Von Professor H. Hüller-Breslau. 
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich in ihrem ersten Theile 
mit der Ermittlung der Stabkräfte und Auflagerwiderstände des 
statisch bestimmten räumlichen Fachwerks auf Grund von Kräfte 
zerlegungen, zeigt hierauf die Darstellung der elastischen Form 
änderungen, leitet aus den letzteren ein kinematisches Verfahren zur 
Berechnung der Stabkräfte ab und schliefst mit der Untersuchung 
der statisch unbestimmten räumlichen Stabgebilde. 
ln den Knotenpunkten werden reibungslose Gelenke voraus 
gesetzt. Die infolge Nichterfüllung dieser Bedingung entstehenden 
Spannungsänderungen (Nebenspannungen) bleiben einer besonderen 
Abhandlung Vorbehalten. Auch die an den Anflagerstellen auf 
tretenden Beibungswiderstände sollen zunächst vernachlässigt werden. 
Es sind dann drei Arten von Stützungen zu unterscheiden: 
a. Der Stützpunkt (w) wird in einer Fläche geführt. Der Stützen- 
widerstand wirkt rechtwinklig zu der in w an jene Fläche gelegten 
Berührungsebene; seine Richtung ist gegeben, seine Gröfse wird 
gesucht. 
b. Der Stützpunkt w wird in einer Linie geführt; er kann sich 
in der Richtung der in w an jene Linie gelegten Tangente frei be 
wegen. Der in w an greifende Auflagerwiderstand liegt in der zur 
Tangente rechtwinkligen Ebene und mufs durch Angabe zweier 
Seitenkräfte bestimmt werden. 
c. Kann sich ein Stützpunkt nach keiner Richtung hin frei 
bewegen, so ist zur Bestimmung des an demselben angreifenden 
Widerstandes die Angabe von drei Seitenkräften erforderlich. 
Die nach festen Richtungen wirkenden Seitenkräfte der Stützen- 
widerstände lassen sich auch als die Spannkräfte in Stäben deuten, 
welche die fraglichen Stützpunkte w mit außerhalb des Fachwerks 
gelegenen festen Punkten f verbinden und Auflagerstäbe genannt 
werden. Je nachdem die Stützung in der unter &) oder b) oder c) 
angegebenen Weise erfolgt, ist die Anzahl der am Punkte tü angrei 
fenden Auflagerstäbe gleich 1, 2, 3, weshalb auch die Bezeichnungen; 
einfache, zweifache und dreifache Stützung passend sind. 
ln unseren allgemeinen Untersuchungen soll diese Auffassung 
der Stützenwiderstände als Stabkräfte stets vorausgesetzt werden; wir 
haben es danu nur mit der Ermittlung der durch Lasten P erzeugten 
Stabkräfte S zu thun, und die ganze Darstellung gewinnt an Kürze. 
Ist die Anzahl der Knotenpunkte des Fachworts — fe, die krntahi 
der Stäbe, einscbliefslich der Auflagerstäbe = s, so mufs 
3 Ä $ (1) 
sein, falls das Fachwerk ein statisch bestimmtes sein soll, denn es 
stehen 3 k Gleichgewichtsbedingnngen zur Berechnung der s Stab 
kräfte zur Verfügung. 
Die Erfüllung der Gleichung (1) ist zur Erzielung der statischen 
Bestimmtheit erforderlich, aber nicht ausreichend, da auch die gegen 
seitige Lage der Stäbe eine Rolle spielt. 
I. 
Allgemeines über das statisch bestimmte Fachwerk, 
1. Wir stellen das einfachste und wichtigste Fachwerk voran. 
Dasselbe entsteht wie folgt (vergl. z. B. den in Abb. 1 dargestellten 
Grundrifs einer Kuppel). 
Es seien fl ’?2> / 3 ..,. feste Punkte 
und Oj, a 3 , . . . . Knotenpunkte, 
welche mit den Punkten f durch je 
3 Stäbe, deren Achsen nicht in der 
selben Ebene liegen dürfen, verbun 
den sind, z. B. ai mit f n , f und 
Punkt a g mit f gJ f v An drei be 
liebige Knoten dieses anverschieblichen 
Stabgebildes seien drei neue Stäbe au- 
geschlossen, die in einem neuen 
Knoten b Zusammenhängen, und dieses 
Verfahren: Festlegung eines Knotens mit Hülfe von drei nicht in 
derselben Ebene liegenden Stäben 1 ) sei beliebig oft wiederholt. 
Die Spannkräfte 8 in einem derartigen Fachwerke lassen sich 
durch wiederholte Lösung der Aufgabe ermitteln: drei in einem 
Punkte m angreifende Kräfte Si, Si, St, deren Richtungen bekannt 
sind, so zu bestimmen, dafs eie einer ebenfalls in m angreifenden, ge 
gebenen Kraft P das Gleichgewicht halten. 
Die Lösung dieser Aufgabe ist in Abb. 2 und Abb, 3 ausgeführt 
worden. Abb. 2 zeigt die Hichtungen der Kräfte P, Si, S-2, St im 
Aufrifs und Grundrifs; Abb. 3 enthält den Aufrifs und Grundrifs des 
geschlossenen Kräftezuges. Man lege durch die Endpunkte von P 
Parallelen zu zwei <S r -Richtungen, beispielsweise zu Si und St und 
*) Wir sagen kurz: der Stab liegt in der Ebene anstatt: die Stab- 
achse liegt in der Ebene. * 
zeichne hierauf ein Viereck a' V b“ a‘\ dessen Ecken in den Geraden 
i§£, 8%, liegen und dessen Seiten parallel zu S 3 , und zu den 
Projectionsstrahlen sind. Zur Bestimmung dieses Vierecks wurden in 
Abb. 3 zunächst zwei Hülfsvierecke a,\ b\ b'{ a'{ und a 2 b 2 b 2 a 2 auf 
getragen, deren Eckpunkte ab v 6j und a 3 , b 2t b% in den vorgeschrie- 
benen Geraden S‘%, S 2 liegen, und deren Seiten die vorgeschriebenen 
Richtungen haben. Es ist dann die Gerade a, a s der Ort des Punktes a", 
und hiermit ist die Lage des Punktes ft" und das Viereck a' b 1 b“ ft" 
bestimmt. Denn: 
Aendert ein »-Eck in der Weise seine Form, dafs sämtliche 
Seiten desselben durch feste Punkte einer und derselben Ge 
raden gehen (die im vorliegenden Falle die unendlich ferne 
Gerade ist), während n—1 Eckpunkte gerade Linien beschreiben, 
so bewegt sieb auch der letzte Eckpunkt in einer Geraden. 9 ) 
Die Schnittpunkte der Geradenpaare S v S 2 und a* a 2 , S 2 liegen 
in einer Parallelen zu m' m“, und es genügt daher — eine günstige 
Lage des Schnittpunktes von S[ und vorausgesetzt — die Auf 
tragung eines der beiden Hülfsvierecke. 
besonderen Lagen der Stäb&cbsen läfst sich die Ermittlung 
der Kraft 8 wesentlich vereinfachen, wie die folgenden Beispiele 
zeigen mögen. 
In Abb. 4 und 5 ist parallel zur Aufrifsebene, ferner decken 
sich S 2 und S' a . Man bestimmt zunächst S, und -f- 8$, hierauf 
&it schliefslich S 2 , S' ä - 
In Abb. 6 und 7 decken sich S 2 und S s , während und in 
die Grundrifsebene fallen. sei, ebenso wie P, gegeben; S v S 2 , S s 
seien gesucht. Man bestimmt im Aufrifs + $ 4 und S 2 -f- S' v hier 
auf im Grundrifs S lf schliefslich S s und S 2 . 
In Abb. 8 und 9 liegen S t und S 2 in der Grundrifsebene, S s in 
der Aufrifsebene; der Kräfteplan ist ohne Erläuterung verständlich. 
Ein Blick auf die Abb. 1 und 21 lehrt, dafa die vorgeführten 
2) Auf diesen Satz stützt sich auch die von Saviotti zur Be 
rechnung gewisser ebenen Fachwerke benutzte Methode de la 
fausse position — eine Art regula falsi. Vergl. des Verfassers 
Graphische Statik, Band I, Seite 196 und 214.

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