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Metrische Eigenschaften der algebraischen Oberflächen

Full text: Festschrift zum einhundertfünfzigjährigen Bestehen des Königlichen Realgymnasiums zu Berlin (Public Domain)

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für die Fläche zu dem für den Kegel auf jeder Sekante in einem unveränderlichen 
Verhältnis. Auch hier kann der Scheitel des Kegels in jeden anderen Punkt verlegt werden. 
Von diesem wie mir scheint noch nicht bekannten Satze will ich zwei Anwendungen 
machen. Die Fläche erster Ordnung ist die Ebene, aus dem Kegel über der unendlich fernen 
Linie wird eine zweite durch den Anfangspunkt der Koordinaten gehende zur ersten parallele 
Ebene. Die durch den Punkt P gelegte Gerade schneidet die erste Ebene in A die zweite in GA, 
und das Verhältnis PA: PG ist natürlich unabhängig von der Richtung der Geraden. Als 
zweites Beispiel wähle ich das Hyperboloid mit zwei Mantelflächen. Liegt der Anfangspunkt 
der Koordinaten im Centrum der Fläche, so ist der Kegel über der unendlich fernen Kurve der 
Asymptotenkeel des Hyperboloids. Eine durch den Punkt P gehende Sekante schneidet das 
Hyperboloid in A; und 4; und den Asymptotenkegel in G, und G,; es ist nun bewiesen, dafs 
a Da für jede Sekante von P aus denselben Wert behält. 
8 3. 
Es möge nunmehr eine von zwei Punkten P und Q begrenzte gerade Strecke von einer 
Fläche, nter Ordnung geschnitten werden. Jeder Schnittpurkt teilt die Strecke PQ in einem be- 
stimmten Verhältnis, welches das negative Vorzeichen erhalten soll, wenn der Teilungspunkt 
zwischen P und Q fällt. Für das Produkt der = Verhältnisse soll ein analytischer Ausdruck ge- 
funden werden, wozu sich wiederum die Formeln für die Streckenprodukte benutzen lassen. 
Wenn zunächst von zwei Punkten P und Q mit den Koordinaten z:, yı, zı und &,, yı, Zı 
zwei parallele Transversalen mit den Richtungskosinus k, l, m durch die Fläche gelegt werden, 
deren Schnittpunkte A4;, 42... 4, bezw. Bı, Ba... B. sein mögen, so sind die beiden Strecken- 
produkte ausgedrückt durch: 
A — " F(&1, YızZı) 
(—-1)* PA: PA... PA» = (1) FOL, m) und 
Ä. — % F(z, Ya, 23) 
(—1)1 QB,-QBı... QB. =(—1) Fk, Im) 
[hr Quotient ist nur von den Koordinaten der Punkte P und @Q abhängig, und es ist daher 
folgender Satz bewiesen: Wenn durch zwei feste Punkte parallele Transversalen zu 
einer Fläche nter Ordnung gezogen werden, so ist das Verhältnis der Strecken- 
produkte konstant, welches auch die Richtung der Transversalen sein mag. 
Jetzt sollen die zwei durch die Punkte P und Q gezogenen parallelen Transversalen in 
eine zusammenfallen; dann giebt es auf der Strecke PQ nur eine Gruppe der Schnittpunkte 
Ay, Ar... An, und der Quotient der beiden Streckenprodukte von P und von Q aus geht un- 
mittelbar in das gesuchte Produkt der Verhältnisse über, in welchen die nFlächenpunkte die 
Strecke PQ teilen, nämlich: 
(1 
(v4 PA PA PA _ Fl@yyus) 
QAr QAz QAn a Fz:, Ya Za) 
(2) 
A—2, stimmt mit der Anzahl der vorkommenden negativen Verhältnisse vo überein, denn ebenso 
oft als eine Strecke PA, für P negativ und die entsprechende QA, für Q positiv zu nehmen 
ist, liegt der Teilpunkt 4, zwischen P und @Q, und das Verhältnis PA,: QA, erhält das negative 
Vorzeichen. um ebenso viele Einheiten ist 12>4A,; es kann also 4—4, durch go ersetzt werden.
	        
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