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Über Rouletten, welche entstehen, wenn eine Cycloide auf einer anderen rollt. Von G. Bellermann

Full text: Festschrift zu dem funfzigjährigen Jubiläum der Königstädtischen Realschule zu Berlin (Public Domain)

236 ÜBER ROULETTEN, WELCHE ENTSTEHEN, 
muss man aus den drei einzelnen Bewegungen mit Hülfe des 
Parallelogrammes der Bewegungen die Resultante konstruieren. Nun 
verhalten sich ds a : dst: ds c = «a: ßh: yc. Wir errichten demnach in 
P auf PA 1 , PB 1 , PC 1 die Lote bezüglich PX, PY, PZ und machen 
sie so gross, dass man hat PX: PY: PZ = «a: ßh: yc. Dann er 
gänzen wir XPY durch Z 1 und ZPZ 1 durch T zu einem Parallelo 
gramm und ziehen PT, so ist PT Tangente an der Kurve. 
Der Satz (S. 7 a. a. O.): „Bewegen sich auf concentrischen Kreisen 
zwei Punkte mit gleichförmigen aber verschiedenen Winkelgeschwin 
digkeiten, so ist ihre Verbindungslinie die Normale einer Cycloide” 
hat für die Cycloiden zweiter Ordnung nichts Entsprechendes. Doch 
ist ein besonderer Fall hier hervorzuheben. Ist die Cycloide, welche 
durch zwei Deferenten, etwa c und b, bestimmt wird, eine gemeine, 
also yc = ßb, so bewegen sich die Punkte D auf MC und Kauf MB, 
welche die Normale der Cycloide bestimmen, auf einem und dem 
selben Kreis, von welchem Satz wir S. 221 eine Anwendung machten, 
Wenn hierbei A 1 der beschreibende Punkt dieser Cycloide ist, so ist 
CA'= CD, BA 1 = BE. Daher halbiert DEA 1 den Winkel CA'ß. 
Bezeichnen wir nun mit MO den Radius, in welchen MA und MB 
einmal zusammengefallen waren, ferner die Winkel OMA und OMB 
mit yij und ßr h so ist CMB = (/?—y)ij und CA 1 D = 1 /s((J—y)i7. 
Nun wollen wir die Cycloide zweiter Ordnung so bestimmen, dass 
ihr dritter Deferent MA = a immer mit der Normalen EDA 1 der 
genannten Cycloide parallel sei. Dies ist erreicht, wenn Winkel 
M O C = */j [ß -r «) r t . Es müssen also alle drei Deferenten einmal 
zusammenfallen können, und die Winkelgeschwindigkeit des dritten 
das arithmetische Mittel aus den Winkelgeschwindigkeiten der beiden 
ersten sein. Ferner muss für die Längen der beiden ersten Defe 
renten die oben angegebene Gleichung yc— ßb bestehen, während 
die Länge des dritten Deferenten a willkürlich gewählt werden darf. 
Wenn wir nun unter Beibehaltung der Bezeichnung für den beschrei 
benden Punkt P und seine Tangente die oben angegebene Konstruktion 
vornehmen, so sind DA 1 und A*P eine gerade Linie und ferner fallen 
PX und PX 1 in dieselbe Richtung. Daher steht die Tangente PT auf 
A‘P senkrecht, oder es ist auch für diese Cycloide zweiter Ordnung 
DE die Normale. Unsere Kurve hat also immer dieselbe Normale 
wie die Cycloide und ist ihr demnach parallel. Der Abstand beider 
Kurven beträgt a. Die Kurven also, welche den gemeinen Cycloiden 
parallel sind, sind Cycloiden zweiter Ordnung. 
Wir kehren nun zu der anfänglich gestellten Frage zurück: 
Welchen Weg beschreibt irgend ein Punkt, der mit der rollenden 
Cycloide fest verbunden ist. Wir gehen wieder von dem Fall aus,
	        
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