WENN EINE CYCI.OIUE AUF EINER ANDEREN ROLLT.
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so ist —- — = - ,C . Hieraus crgiebt sich für die Radien der Scheitel
I —fl i — v °
kreise der beiden Cycloiden folgende Beziehung:
fim _ rn
i —fl 2 ~~ i — r-
Diese Gleichung muss also bestehen, wenn beide Kurven so, wie
die Aufgabe es angegeben hat, auf einander rollen sollen.
Es handelt sich jetzt darum, den Zusammenhang zwischen solchen
Punkten der beiden Kurven zu bestimmen, mit denen sie bei dem
Rollen auf einander sich gegenseitig berühren. Hierzu gebrauchen
wir folgenden Satz (S. 21 a. a. O.): Wenn sich zwei Punkte auf einem
Kreise mit constanten Geschwindigkeiten bewegen, so ist ihre Ver
bindungslinie immer die Tangente einer gemeinen Cycloidc und die
Normale einer zweiten, welche letztere also zu ersterer Evolvente
ist. Hierbei bestimmt das Verhältnis der beiden Winkelgeschwindig
keiten ft in derselben Weise wie oben das Verhältnis des Radius
des rollenden Kreises zum festen Kreise. Ferner ist der Kreis, auf
welchem beide Punkte sich bewegen, der Scheitelkreis der ersten
Cycioide und der Basiskreis der zweiten. Endlich erhält man den
beschreibenden Punkt der ersten Cycioide, indem man die Ver
bindungslinie innen, und den beschreibenden Punkt der zweiten, indem
man die Verbindungslinie aussen im Verhältnis der Geschwindigkeiten
der beiden bewegten Punkte teilt. Der Mittelpunkt des Kreises
(Fig. 1) sei M, sein Radius m. Auf ihm bewegen sich die beiden
Punkte H und H 1 mit dem Geschwindigkeitsverhältnis /i: 1. Ist
endlich P der beschreibende Punkt der ersten Cycioide, P 1 derjenige
der zweiten, so ist PH : PH 1 P'H : P'H' -/i: 1, wobei P der innere,
P* der äussere Teilpunkt von HH' ist. (Wäre /i negativ, nämlich im
Falle der Hypocycloiden, so würde P äusserer und P 1 innerer Teilpunkt
sein.) Zu Anfang der Betrachtung mögen H und H’ in dem festen
Punkte A liegen, so fallen mit diesem ebenfalls zusammen P und P 1 .
Hierbei bildet P den Scheitel der ersten Cycioide, P 1 die Rückkehr
spitze der zweiten, der Evolvente der ersten. Bewegen sich nun H
und H 1 , so ist der Bogen, welchen hierbei P beschreibt, AP immer
gleich der geraden Linie P‘P. Diese Linie P’P drücken wir jetzt
durch i] aus, wenn Winkel AMH — ^o; und AMH 1 = tj ist. P habe
die Coordinaten x und y, P 1 diejenigen x 1 und y 1 , wobei MA die
positive Abscisse ist. Die Coordinaten von H sind m cos /07 und
m sin fir h von H 1 aber m cos i; und m sin r t . Da PH: PH 1 - fi:i,
wobei P zwischen H und H’ liegt, so sind von P die Coordinaten
