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Über Rouletten, welche entstehen, wenn eine Cycloide auf einer anderen rollt. Von G. Bellermann

Full text: Festschrift zu dem funfzigjährigen Jubiläum der Königstädtischen Realschule zu Berlin (Public Domain)

WENN EINE CYCI.OIUE AUF EINER ANDEREN ROLLT. 
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so ist —- — = - ,C . Hieraus crgiebt sich für die Radien der Scheitel 
I —fl i — v ° 
kreise der beiden Cycloiden folgende Beziehung: 
fim _ rn 
i —fl 2 ~~ i — r- 
Diese Gleichung muss also bestehen, wenn beide Kurven so, wie 
die Aufgabe es angegeben hat, auf einander rollen sollen. 
Es handelt sich jetzt darum, den Zusammenhang zwischen solchen 
Punkten der beiden Kurven zu bestimmen, mit denen sie bei dem 
Rollen auf einander sich gegenseitig berühren. Hierzu gebrauchen 
wir folgenden Satz (S. 21 a. a. O.): Wenn sich zwei Punkte auf einem 
Kreise mit constanten Geschwindigkeiten bewegen, so ist ihre Ver 
bindungslinie immer die Tangente einer gemeinen Cycloidc und die 
Normale einer zweiten, welche letztere also zu ersterer Evolvente 
ist. Hierbei bestimmt das Verhältnis der beiden Winkelgeschwindig 
keiten ft in derselben Weise wie oben das Verhältnis des Radius 
des rollenden Kreises zum festen Kreise. Ferner ist der Kreis, auf 
welchem beide Punkte sich bewegen, der Scheitelkreis der ersten 
Cycioide und der Basiskreis der zweiten. Endlich erhält man den 
beschreibenden Punkt der ersten Cycioide, indem man die Ver 
bindungslinie innen, und den beschreibenden Punkt der zweiten, indem 
man die Verbindungslinie aussen im Verhältnis der Geschwindigkeiten 
der beiden bewegten Punkte teilt. Der Mittelpunkt des Kreises 
(Fig. 1) sei M, sein Radius m. Auf ihm bewegen sich die beiden 
Punkte H und H 1 mit dem Geschwindigkeitsverhältnis /i: 1. Ist 
endlich P der beschreibende Punkt der ersten Cycioide, P 1 derjenige 
der zweiten, so ist PH : PH 1 P'H : P'H' -/i: 1, wobei P der innere, 
P* der äussere Teilpunkt von HH' ist. (Wäre /i negativ, nämlich im 
Falle der Hypocycloiden, so würde P äusserer und P 1 innerer Teilpunkt 
sein.) Zu Anfang der Betrachtung mögen H und H’ in dem festen 
Punkte A liegen, so fallen mit diesem ebenfalls zusammen P und P 1 . 
Hierbei bildet P den Scheitel der ersten Cycioide, P 1 die Rückkehr 
spitze der zweiten, der Evolvente der ersten. Bewegen sich nun H 
und H 1 , so ist der Bogen, welchen hierbei P beschreibt, AP immer 
gleich der geraden Linie P‘P. Diese Linie P’P drücken wir jetzt 
durch i] aus, wenn Winkel AMH — ^o; und AMH 1 = tj ist. P habe 
die Coordinaten x und y, P 1 diejenigen x 1 und y 1 , wobei MA die 
positive Abscisse ist. Die Coordinaten von H sind m cos /07 und 
m sin fir h von H 1 aber m cos i; und m sin r t . Da PH: PH 1 - fi:i, 
wobei P zwischen H und H’ liegt, so sind von P die Coordinaten
	        
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