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Volume Nr. 49

Full text: Zentralblatt der Bauverwaltung (Public Domain) Issue 1891 (Public Domain)

484 
Centralblatt der Bauverwaltung. 
&. Dteember 1891. 
4) 
daher die Knickkraft Po nicht erreichen. Selbstverständlich m\ih die 
Druckkraft auch kleiner als F. K sein, wo F — Querschnitt, 
K — Druckfestigkeit. 
Gleichung 3 kann man anch in folgender Form schreiben: 
P Q _n 2 EJ _ 7i*Ei* _n*E 
F~ l*F “ l* ~ X 2 ’ 
wo ko » Knickfestigkeit, i = VJ: F = Trägheitsradius, X = l i i = 
Längenverhältnifs. 
Der Gl. 3 liegen folgende Voraussetzungen bezw. Vernach 
lässigungen zu gründe: 
1) Die Längenänderung der Stabachse infolge der Druckspannun 
gen wurde vernachlässigt, 
d*u 
2) Der Krümmungsradius wurde annähernd q = 1 : - - ^ statt 
g • CtX 
fdyYT*. 
'-dx* J ’ dx* 
3) Das Elasticitätsgesetz 0 = Es wurde durchgehends als gültig 
angenommen. 
4) Es wurde bei Bestimmung der elastischen Linie nur der Ein- 
flufs der Biegungsmomente, nicht aber auch der Einflufs der Schub 
kräfte berücksichtigt. 
Die beiden ersten Punkte sind praktisch ohne Bedeutung. Eine 
genauere Untersuchung (Grashof, Die Festigkeitslehre 1866 S. 112) 
liefert das theoretisch interessante Ergebnifs, dafs die Knickkraft Po 
keineswegs unabhängig vom Biegungspfeil 6 ist, sondern mit 6 etwas, 
allerdings nur sehr unbedeutend, zunimmt. Grashof giebt als 
zweiten Annäherungswerth 
• = [* + (SW 
gesetzt. 
Pn - 
n 2 EJ 
0 + 
5) 
l 2 V" ~ y p ) • ■ • 
Für ö — 0 stimmt dieser Werth mit dem Eulerschen Werthe (Gl, 3) 
überein. 
Mit Bezug auf Punkt 3 kann die Eulersche Gleichung selbst 
verständlich nur soweit Geltung beanspruchen, als die Spannungen 
unterhalb der Elasticitätsgrenze bleiben, somit nur dann, wenn die 
Knickspannung ko kleiner als der Grenzwerth g sich ergiebt. Für 
ko >- g liefern die Gl. 3 und 4 zu günstige Ergebnisse, da nach 
Ueberschreitung der Elasticitätsgrenze die Formänderungen und somit 
auch die Biegungsmomente stärker ausfallen, als bei Aufstellung der 
Gl. 1 vorausgesetzt wurde. Man kann diesem Umstande dadurch 
Kechnung tragen, dafs man an Stelle des Elasticitätsmoduls E die 
Gröfse T (siehe Zeitschr. des Arch.- und Ing.-Vereins in Hannover 
1889 Heft 4) in Gl. 1 einführt, wodurch Gl, 3 und 4 übergehen in 
Po = 
7Z 2 TJ 
p und k 0 = ~ 
Zur Definition der GrÖfse T sei in Abb. 2 die Arbeitslinic des 
Stabmaterial» mit den Deh 
nungen £ als Abscissen und 
den zugehörigen Spannungen 0 
als Ordinaten aufgetragen. 
Zieht man in einem beliebigen 
Punkte M der Arbeitslinie 
eine Tangente MN, welche 
den Winkel (p mit der Wage- 
rechten bildet, so ist T = 
tg rp. So lange M innerhalb 
Elasticitätsgrenze liegt, also 
für ff < g, ist T constant 
gleich dem Elasticitätsmodul 
K; für gröfsere ff nimmt der 
Werth von T ab. Bei gege 
bener Arbeitslinie ist es nun 
leicht, für bestimmte Längen X den Werth der Knickfestigkeit ko 
mit Hülfe der Gl. 6 zu bestimmen, wie dies in der oben angeführten 
Quelle näher dargelegt ist. 
Insbesondere für Eisen läfst sich die Beziehung zwischen fco und X 
(Festigkeitslinie) in folgender Weise (Abb. 3) darstellen. Von ko = 0 
7T*K 
bis fco = g gilt die Eulersche Gleichung ko = fsr, der zu ko = g 
6) 
Abb. 2. 
gehörige Werth von X ist 
^2 — j/ 
71* E 
X' 8 
Daran schließen sich 
zwei Gerade, G Q und Q C. Bezeichnet man die Abscisse von deren 
Schnittpunkt Q mit X x , so ist 
von 0 bis X i , k 0 constant = q = Spannung an der Quetsch- 
grenze (Streckgrenze), 
von X x bis X % . & 0 = 9 + y (- (X, 2 — X). 
**—M 
Für Schweifseisen kann .man setzen 
X x — 65, E — 2 OOO 000, q = 2350 kg/qcm, g = 1500 kg/qcm, 
^ 000 000 
1500 
= 115. 
Abb. 3. 
Die Gleichung der Festigkeitslinie lautet sodann 
von 0 bis 65, k 0 = 2350 kg \ 
von 65 bis 115, ~ 3455 — 17 X [ 
7 20000000 f 
von 115 bis oo, fcy = — ) 
Für Flufseisen ist entsprechend 
V 
X x = 64, E = 2 150 000, q = 2650, g = 2200, A 3 = 94 
von 0 bi» 64, k 0 — 2650 kg "i 
von 64 bis 94, Jc 0 — 3610 ■— 15 >1 j m 
21 500 000 j ’ ' ' * 
von 94 bis oo, Ä* 0 = 
X 2 
II. 
Der unter Kr. 4 genannte Einflufs der Schubkräfte auf die 
elastische Linie und somit auch auf die Knickfestigkeit ist nur selten 
und höchstens bei solchen Querschnittsformen von Bedeutang, welche 
in der Schwerpunktsachse die kleinsten Breiten aufweisen (Quer 
schnitte mit Mittelrippe, z. B. X - Querschnitte). 
Die Ordinate y der elastischen Linie kann gesetzt werden 
y ~ y’ + y'\ wo y‘ den Einflufs der Momente, y“ den der Schubkräfte 
darstellt. Alle drei Linien y y' und y" sind Cosinuslinien und zwar 
mit proportionalen Ordinaten, sodafs man setzen darf y‘ = ay 
und y" = (!—«) y. 
Aus der Gleichung EJ 
d*y‘ 
dx 2 
EJ« 
d*y 
— — Py folgt ähn 
lich wie früher P = 
tEJ 
71* 
l* 
Zur Bestimmung des Einflusses der Querkräfte Q dient die 
Gleichung 
dx r b FG 
wo y = speciflsche Verschiebung zweier um die Einheit entfernten 
Querschnitte infolge von Q, 
G = Schub-Elasticitatsmodul, F = Querschnittsgröfse, 
£ = einem Beiwerth, welcher ausdrückt, um wie viel die wirk 
liche Schiebung y infolge der ungleichmäfsigen Vertheilung der 
Schubspannungen % grofser ist, als wenn eich die Schubspannungen 
gleichmäfsig über den Querschnitt vertheilten. 
Mit Hülfe des Satzes von der Arbeit erhält man 
/*■■** 
6 10 
Für rechteckige Querschnitte wird £— für kreisförmige £ = 
Durch Integration obiger Differentialgleichung ergiebt sich, da 
ö“ 
dM 
Pyl 
od. (1—a)y: 
Pyt 
i 
dPy „ 
dz ~ dx ’ V " FG 
Nach Elimination der Gröfse cc aus den Gleichungen 
II 
FG 
erhält man 
n*EJ ^1 1 _ 
I 7i 2 EJ£ l 2 .25 
X l 7S/2 T? 1 "T 7: 
PJ 
F& 
p = 
^ «EJtx 1 . t 
P — —ff— und 1 
r 
l 2 
l 2 GF 
für G -- 0,4 E und TT 2 = 10. 
l 2 F 
9)
	        
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