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Centralblatt der Bauverwaltung.
4. November 1891.
Ringes als Z~ Kräfte ein und füge die in der Abbildung durch
gestrichelte Linien angedeuteten Ersatzstäbe 38, 41, 44, 47 hinzu,
welche die Punkte a mit aufserhalb des Fachwerks angenommenen
festen Punkten f* verbinden. Die Richtungen dieser Stäbe sind nur
an die Bedingungen gebunden, dafs Stab 41 nicht in die Ebene a f 3
fallen darf, Stab 44 nicht in die Ebene a f x f % usw. Die Stabkräfte 8
werden in der durch die Ziffern 1 bis 48 angegebenen Reihenfolge
durch die Kräfte Z und Lasten P ausgedrückt, und schliefslich wer
den die Spannkräfte ä 47 gleich Null gesetzt.
Ein zweites, sehr einfaches Beispiel bietet die Untersuchung der
in Abb. 21 im Grundrifs gegebenen Kuppel. Die wagerechten
Ringe a 3 . . . , b 2 & 8 ... seien regelmäfsige Vielecke von
ungerader Seitenzahl. Die Dreiecke b l a 2 & g , «3 ... seien
gleichschenklich.
In den Knotenpunkten a lt a 9 ... und ... mögen beliebig
gerichtete Lasten P angreifen. Die Spannkraft des Stabes a i a 7 sei
als Z’ Kraft eingeführt. Ein Ersatzstab 21 verbinde a ? mit einem
aufserhalb desFachwerks liegenden festen Punkte; seine Richtung
e;- + i s = — i; ®;, = + ij....
@;=+i7i e; —li, e; — ifj s;—
und Bchliefslich aus dem Kräfteplane für a 7 :
®8t + Z — — 1, d. h. @ 21 -|- 1 — — 1,
also @ 21 = — 2 und Z = — -£■ _ SL ,
weshalb man zu den folgenden einfachen Formeln gelangt 6 )
a) für die Ringstäbe:
S = @0 @0.«
oberes Zeichen für die Stäbe 8, 9, 15 gültig,
unteres , „ „ „ 6, 12, 18
b) für die Mantelstäbe:
S=@ oT ~-^®„. sl
sei mit der Richtung des beseitigten Stabes a t a 7 zu-
sammenfallend angenommen (in Abb.21 wurde der Deutlichkeit
wegen Stab 21 aus dieser Lage gedreht). Wird zunächst Z= 0 ge
setzt, so lassen sich die Stabkräfte der obersten Zone in der durch
die Ziffern vorgeschriebenen Reihenfolge darstellen, und zwar nach
dem in den Abb. 6 und 7 angewandten Verfahren. Das Ergebnifs
dieser Untersuchung sind die Spannkräfte
@0.1* @0.2» @0.81*
Kennt man jetzt noch die Spannkraft für den Zu
stand Z=l, so ist man imstande, die Spannkräfte S der Stäbe 1 bis 21
mittels der Gleichung
£= <S 0 -f
zu berechnen. Man erhält aus
&21 = ©0.21 4" ©21 • Z *** 0
den Werth ^
@ai
und findet schliefslich ^
£ = @0 —
@21
Für den Knotenpunkt a { und den Zustand Z ^ 1 findet man nun
den in Abb. 22 dargestellten Kräftezug; derselbe liefert für Stab 3
die Spannkraft ©g =* — 1 und für die Stäbe 1 und 2 die Spann-
4 8 * 8
kräfte ©j = — 1 —, © 3 = -j- 1 —, wo 8 die wirkliche Länge des
Stabes a i (nicht etwa die Projection dieser Strecke) bedeutet, und r
die Seitenlänge des' Ringes a t a 2 . . . Der Beweis folgt daraus,
dafs die Mittelkraft von Z und (©3 in die Ebene b 1 a 1 b 7 fallen und
daher parallel zu b t & 7 sein mufs; auch ist zu beachten, dafs die
Strecken 1" und 2“ in Abb. 22 die Grundrifslängen der Spann
kräfte ©j und © 8 sind. Ganz ebenso findet man nun aus den Kräfte-
plänen für die Knoten Oj, a s . . . dieWertbe;
oberes Zeichen für die Stäbe 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
unteres „ „ # * 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20,
Wäre die Seitenzahl des Ringes eine gerade gewesen, so hätte die
beschriebene Rechnung für die Spannkraft &' des Ersatzstabes die
Gleichung <B‘ + 1 *=* 4* 1 geliefert. Das Ergebnifs wäre dann ©‘ = 0
und Z = 00 gewesen, ein Beweis, dafs jedenfalls ein unbrauchbares
Fachwerk vorliegt. Vergl. die auf S. 438 an die Abb. 12 geknüpften
Betrachtungen.
Nach Erledigung der Berechnung der obersten Zone wird die
nächstfolgende ganz in derselben Weise untersucht; die bereits er
mittelten Stabkräfte S x bis 8 t0 zählen dabei zu den gegebenen änfseren
Kräften.
Das im vorstehenden entwickelte Verfahren hat der Verfasser
bereits im ersten Bande seiner Graphischen Statik zur Berechnung
ebener Fachwerke benutzt und durch zwei Beispiele (Seite 207
und 213) erläutert. In anderer Weise macht Henneberg in seinem
ausgezeichneten Werke: Statik der starren Systeme (Darm
stadt 1886) von dem Verfahren der Umwandlung eineB Fach werke
Gebrauch, indem er ein statisch bestimmtes ebenes oder räumliches
Fachwerk von n Knoten in ein solches von n — 1 1 Knoten und schliefs
lich in ein Dreieck bezw. ein Tetraeder überführt. Allerdings be
schränkt sich seine Untersuchung auf freie Fachwerke, an denen
gegebene aufsere Kräfte im Gleichgewicht sind; sie erstreckt sich
nicht auf irgendwie gestützte Träger. Es ist aber leicht, diese Lücke
zu 8chlier&en. Man hat nur nöthig, die Stützpunkte mittels Autlager-
stäbe mit aufserhalb des Fachwerks liegenden festen Punkten zu
verbinden und diese festen Punkte zu Knotenpunkten eines die Ge
samtheit aller Widerlager vorstellenden steifen, statisch bestimmten
Fachwerks zu machen. Auf diese Weise erhält man ein Stabgebilde,
auf welches das Hennebergsche Verfahren anwendbar ist.
#) Eine andere Behandlung dieser Kuppel zeigt FÖppl a. a.0.;
bei diesem Verfahren mufs der Einfiufs jeder Knotenlast gesondert
dargestellt werden.
Yerlng von 'Wilhelm Emst & Sohn, Berlin. Für die Redaction des nichtamtlichen Thelles verantwortlich: Otto Sarrazin, Berlin. Druck von J.Kerskes, Berlin.
