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Volume Nr. 44A

Full text: Zentralblatt der Bauverwaltung (Public Domain) Issue 1891 (Public Domain)

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Centralblatt der Bauverwaltung. 
4. November 1891. 
Ringes als Z~ Kräfte ein und füge die in der Abbildung durch 
gestrichelte Linien angedeuteten Ersatzstäbe 38, 41, 44, 47 hinzu, 
welche die Punkte a mit aufserhalb des Fachwerks angenommenen 
festen Punkten f* verbinden. Die Richtungen dieser Stäbe sind nur 
an die Bedingungen gebunden, dafs Stab 41 nicht in die Ebene a f 3 
fallen darf, Stab 44 nicht in die Ebene a f x f % usw. Die Stabkräfte 8 
werden in der durch die Ziffern 1 bis 48 angegebenen Reihenfolge 
durch die Kräfte Z und Lasten P ausgedrückt, und schliefslich wer 
den die Spannkräfte ä 47 gleich Null gesetzt. 
Ein zweites, sehr einfaches Beispiel bietet die Untersuchung der 
in Abb. 21 im Grundrifs gegebenen Kuppel. Die wagerechten 
Ringe a 3 . . . , b 2 & 8 ... seien regelmäfsige Vielecke von 
ungerader Seitenzahl. Die Dreiecke b l a 2 & g , «3 ... seien 
gleichschenklich. 
In den Knotenpunkten a lt a 9 ... und ... mögen beliebig 
gerichtete Lasten P angreifen. Die Spannkraft des Stabes a i a 7 sei 
als Z’ Kraft eingeführt. Ein Ersatzstab 21 verbinde a ? mit einem 
aufserhalb desFachwerks liegenden festen Punkte; seine Richtung 
e;- + i s = — i; ®;, = + ij.... 
@;=+i7i e; —li, e; — ifj s;— 
und Bchliefslich aus dem Kräfteplane für a 7 : 
®8t + Z — — 1, d. h. @ 21 -|- 1 — — 1, 
also @ 21 = — 2 und Z = — -£■ _ SL , 
weshalb man zu den folgenden einfachen Formeln gelangt 6 ) 
a) für die Ringstäbe: 
S = @0 @0.« 
oberes Zeichen für die Stäbe 8, 9, 15 gültig, 
unteres , „ „ „ 6, 12, 18 
b) für die Mantelstäbe: 
S=@ oT ~-^®„. sl 
sei mit der Richtung des beseitigten Stabes a t a 7 zu- 
sammenfallend angenommen (in Abb.21 wurde der Deutlichkeit 
wegen Stab 21 aus dieser Lage gedreht). Wird zunächst Z= 0 ge 
setzt, so lassen sich die Stabkräfte der obersten Zone in der durch 
die Ziffern vorgeschriebenen Reihenfolge darstellen, und zwar nach 
dem in den Abb. 6 und 7 angewandten Verfahren. Das Ergebnifs 
dieser Untersuchung sind die Spannkräfte 
@0.1* @0.2» @0.81* 
Kennt man jetzt noch die Spannkraft für den Zu 
stand Z=l, so ist man imstande, die Spannkräfte S der Stäbe 1 bis 21 
mittels der Gleichung 
£= <S 0 -f 
zu berechnen. Man erhält aus 
&21 = ©0.21 4" ©21 • Z *** 0 
den Werth ^ 
@ai 
und findet schliefslich ^ 
£ = @0 — 
@21 
Für den Knotenpunkt a { und den Zustand Z ^ 1 findet man nun 
den in Abb. 22 dargestellten Kräftezug; derselbe liefert für Stab 3 
die Spannkraft ©g =* — 1 und für die Stäbe 1 und 2 die Spann- 
4 8 * 8 
kräfte ©j = — 1 —, © 3 = -j- 1 —, wo 8 die wirkliche Länge des 
Stabes a i (nicht etwa die Projection dieser Strecke) bedeutet, und r 
die Seitenlänge des' Ringes a t a 2 . . . Der Beweis folgt daraus, 
dafs die Mittelkraft von Z und (©3 in die Ebene b 1 a 1 b 7 fallen und 
daher parallel zu b t & 7 sein mufs; auch ist zu beachten, dafs die 
Strecken 1" und 2“ in Abb. 22 die Grundrifslängen der Spann 
kräfte ©j und © 8 sind. Ganz ebenso findet man nun aus den Kräfte- 
plänen für die Knoten Oj, a s . . . dieWertbe; 
oberes Zeichen für die Stäbe 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 
unteres „ „ # * 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 
Wäre die Seitenzahl des Ringes eine gerade gewesen, so hätte die 
beschriebene Rechnung für die Spannkraft &' des Ersatzstabes die 
Gleichung <B‘ + 1 *=* 4* 1 geliefert. Das Ergebnifs wäre dann ©‘ = 0 
und Z = 00 gewesen, ein Beweis, dafs jedenfalls ein unbrauchbares 
Fachwerk vorliegt. Vergl. die auf S. 438 an die Abb. 12 geknüpften 
Betrachtungen. 
Nach Erledigung der Berechnung der obersten Zone wird die 
nächstfolgende ganz in derselben Weise untersucht; die bereits er 
mittelten Stabkräfte S x bis 8 t0 zählen dabei zu den gegebenen änfseren 
Kräften. 
Das im vorstehenden entwickelte Verfahren hat der Verfasser 
bereits im ersten Bande seiner Graphischen Statik zur Berechnung 
ebener Fachwerke benutzt und durch zwei Beispiele (Seite 207 
und 213) erläutert. In anderer Weise macht Henneberg in seinem 
ausgezeichneten Werke: Statik der starren Systeme (Darm 
stadt 1886) von dem Verfahren der Umwandlung eineB Fach werke 
Gebrauch, indem er ein statisch bestimmtes ebenes oder räumliches 
Fachwerk von n Knoten in ein solches von n — 1 1 Knoten und schliefs 
lich in ein Dreieck bezw. ein Tetraeder überführt. Allerdings be 
schränkt sich seine Untersuchung auf freie Fachwerke, an denen 
gegebene aufsere Kräfte im Gleichgewicht sind; sie erstreckt sich 
nicht auf irgendwie gestützte Träger. Es ist aber leicht, diese Lücke 
zu 8chlier&en. Man hat nur nöthig, die Stützpunkte mittels Autlager- 
stäbe mit aufserhalb des Fachwerks liegenden festen Punkten zu 
verbinden und diese festen Punkte zu Knotenpunkten eines die Ge 
samtheit aller Widerlager vorstellenden steifen, statisch bestimmten 
Fachwerks zu machen. Auf diese Weise erhält man ein Stabgebilde, 
auf welches das Hennebergsche Verfahren anwendbar ist. 
#) Eine andere Behandlung dieser Kuppel zeigt FÖppl a. a.0.; 
bei diesem Verfahren mufs der Einfiufs jeder Knotenlast gesondert 
dargestellt werden. 
Yerlng von 'Wilhelm Emst & Sohn, Berlin. Für die Redaction des nichtamtlichen Thelles verantwortlich: Otto Sarrazin, Berlin. Druck von J.Kerskes, Berlin.
	        
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