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Volume Nr. 51A

Full text: Zentralblatt der Bauverwaltung (Public Domain) Issue 1889 (Public Domain)

25, Deeember 1889. 
502 
Centralblatt der Bauverwaltung. 
Trägerhälfte entgegengesetzte Spannkräfte entstehen, woraus wieder 
wesentliche Vereinfachungen entspringen. 
Anknüpfend an die zweite der eben vorgefnhrten Losungen, 
deuten wir noch in Abb, BO die Anwendung unseres Verfahrens auf 
die Untersuchung eines durch 
gehenden Fachwerkbalkens 
mit vier Oeffnungen an. Bei 
A, B, C, D seien auf wagc- 
recbten Geraden bewegliche 
AuÜagergelonke angeordnet; 
das Auflagergelenk E liege 
fest. Das statisch bestimmte 
Hanptsystem ist ein ein 
facher, bei A und E ge 
lagerter Balken, mit dem die Abb. 30. 
starre Scheibe fF durch vier 
Stäbe verbunden ist. Die Stäbe GB, CH, DF sind lothrecht. X. J FD 
darf nicht — 9Q° sein, sonst aber beliebig gewählt werden. Punkt F 
wird in einer lothrechten Geraden geführt. Die Scheibe ß r wird 
(ebenso wie die Scheibe W in Abb. 28) mit einem Kräftepaar, dessen 
Moment = X a ist, und mit zwei Einzelkräften X b , X belastet. 
fl. Aufgabe. 
Abb. 81 zeigt ein vierfach statisch unbestimmtes Tragwerk, näm 
lich einen über vier Oeffnungen gespannten Bogenträger mit zwei 
festen Auflagergelen 
ken A und E und drei 
auf wagerechten Ge 
raden geführten Auf 
lagergelenken B, C, D, 
Als statisch bestimmtes 
Hauptsystem wurde 
ein bei B und E ge 
stützter Balken ABE 
mit dem Kragarme BA 
gewählt. An Stelle der 
in den Punkten A, C, D 
wirksamen Stützen 
widerstände treten 
gleichwerthige Kräfte, 
welche durch eine ent 
sprechende Belastung 
der mit einander und 
mit dem Balken AE 
verbundenen starren Scheiben I und II hervorgerufen werden sollen. 
Scheibe I bängt mit dem Träger bei A zusammen und ist mit C 
durch einen lothrechten Stab CF, dessen Länge beliebig gewählt 
werden darf, verbunden; sie wird zunächst mit dem Kräftepaare X a 
belastet. Nach Ermittlung der Spannkräfte S a wird der Verschiebungs 
plan für den Zustand = — 1 gezeichnet; dann wird, ebenfalls an 
der Scheibe I angreifend, eine Einzelkraft X b angenommen, deren 
Richtung durch den Pol l a gehen mufs, um den sich Scheibe 1 im 
Belastungsfalle X a = ~ 1 dreht. Auf diese Weise erreicht man, dafs 
Si a ~ 0 und infolgedessen auch <f a & = 0 wird. Um die Bestimmung 
des Pols / zu erläutern, wurde in Abb. 33 ein Theil des Verschiebungs 
planes für den Zustand X a — — 1 angegeben. Die Verschiebungen 
der Punkte A und C seien nach Gröfse, Richtung und Sinn durch 
die Polstrahlen OA‘ und OC 1 *) dargestellt; die Verschiebung OF‘ 
von F ist dann bestimmt durch CF. [_ CF und A'F'.} AF, denn 
zwei durch starre Glieder verbundenen Punkten entspricht im Ver 
schiebungsplane eine zur Verbindungslinie beider Punkte rechtwink 
lige Gerade.**) Pol l a ist nun gegeben durch AI a J_ OA‘ und 
W LfO. Hervorzuheben ist, dafs diese Untersuchung durch 
geführt werden kann, ohne dafs über den weiteren Ausbau des an 
das statisch bestimmte Hauptsystem anzuschliefsenden Scheiben- und 
Stabgebildes irgend etwas festgesetzt ist. Auch der Verschiebung«- 
plan für den Zustand = — 1 kann bereits jetzt gezeichnet werden; 
er möge für die Punkte A, C, F die Verschiebungen OA", OC", OF“ 
liefe«, wobei wieder A"F" \_AF und C‘ F" _\_CF. Mit Hülfe 
von Al^ J _ A" O und Fh o I F" O sei auch der Drehpol der 
Scheibe I für den Zustand X b = — 1 ermittelt worden. 
Schliefst man nun die Scheibe 11 so an, dafs sich dieselbe sowohl 
im Belastungsf&lle X a = — 1, als auch im Falle Xy — — 1 um ein 
und denselben (in Abb. 32 mit L bezeichneten) Pol dreht, und wählt 
man L zum Angriffspunkte zweier Einzelkräfte X Q , so erreicht 
' *) Der Polstrahl OC und mehrere andere Polstrahlen wurden 
in den Abb. 33 .und $4 nicht ansgezogen. 
**) Vergl. die in Nr. 49A. auf Seite 478 über das Verfahren von 
Williot gemachte kurze Mittheilung. 
Abb. 3t. 
man, dafs die Verschiebungen d ca =d ac , d c t,—dt, C i — 
— dbd verschwinden. Nimmt man endlich noch die Richtung X r j 
rechtwinklig zu der Verschiebung an, welche L infolge X c ——1 
erfährt (wobei die Richtung von X c willkürlich ist), so wird dj c = 0 
und = und es gelten dann die Gleichungen (5).1 
Der Punkt II, in welchem II und / aneinanderhängen sollen, 
mufs in der Geraden I a liegen, darf aber im übrigen willkürlich an 
genommen werden. Sollen nämlich • die den Belastungsfällen X a = — 1 
und Xj s= — 1 entsprechenden Drehpole II a und H b der Scheibe IT 
zusammenfallen, so müssen die Verschiebungen OH' und OH", 
welche der Punkt H bei Eintreten jener Belastungsfälle erfährt, 
gleiche Richtung haben; denn es liegen die Punktell a und 11 Ä auf 
Geraden, welche durch H rechtwinklig zu den Richtungen OH‘ und 
OH" gezogen werden. Nun ist aber OH 1 
. l a II und OH". 
MH 
und aus dem Zusammenfällen der Richtungen von OH‘ und OH" 
folgt auch das Zusammenfallen der Geraden HI a nnd HI b . Es 
leuchtet nun weiter ein, dafs L ebenfalls auf der Geraden l a 1^ liegt 
und dafs der Punkt K so angenommen werden mufs, dafs die Ver 
schiebungen OK' und OK" von K gleiche Richtung haben, worauf 
dann L bestimmt ist durch KL_i. OK 1 . 
Behufs Aufsuchung einer solchen Lage des Punktes K bestimmen 
wir zunächst die Punkte H‘ und II" mit Hülfe von F‘H' J FH, 
A'IF. .AH, F"H“ . _FH, A"H" _L AH, wählen die Richtung des 
Stabes FJ beliebig, jedoch so, dafs ff, F und J nicht in einer Geraden 
liegen und bestimmen J‘ und J" mittels DJ‘ J_ DJ, F‘J‘ __ FJ, 
D'J" J DJ, F"J" FJ*) Dabei sind OD‘ und OD" die elasti 
schen Verschiebungen des Trägerpunktes D entsprechend den Be- 
Iastungsfällen X a = — 1 und.A^ — — 1. Nun wurde durch J‘ und O 
eine Gerade gelegt, auf dieser der Punkt T so angenommen, dafs 
JI I, T\\H , J > ist, und 
schliefslich durch II" 
in beliebiger Richtung 
eine Gerade gezogen, 
welche die Gerade 
TJ“ in K" schneidet. 
Zieht man jetzt H‘K‘ 
J H"K", wobei K‘ 
auf der Geraden K" O 
liegt, so ist J'K‘ 
| J"K H und man hat 
ur nöthig, in Abb. 32 
zu ziehenJ‘K‘, 
HKJ H‘K' echliefs- 
lich KL J OK\ Die 
gestellte Aufgabe ist 
hiermit gelöst. 
Fälle höheren Grades statischer Unbestimmtheit. 
Bei Behandlung der vorgefübrten Aufgaben wurde besonderer 
Werth auf solche Lösungen gelegt, welche für Träger von gleichem 
Grade statischer Unbestimmtheit auch in gleicher Weise zum Ziele 
führen. So wurden für jeden der drei in den Abbild. 13, 20 und 22 
dargestellten, zweifach statisch unbestimmten Träger zwei in dem 
selben Punkte angreifende Einzelkräfte X Q und X^ eingeführt und 
deren Ricbtungsuntersebied stets nach derselben Regel gewählt. Bei 
Untersuchung der in den Abbild. 23 , 26 und 30 angegebenen, ganz 
verschiedenartigen, dreifach statisch Unbestimmten Träger waren 
jedesmal X a das Moment eines auf eine starre Scheibe wirkenden 
Kr&ftepaares und X^, X c zwei an derselben Scheibe angreifende 
Einzelkräfte, deren gemeinschaftlicher Angriffspunkt und deren Rich- 
tungsunterschied nach gleichen Regeln angenommen wurden. Dafs 
sich nebenbei das gesteckte Ziel noch auf andere Weise erreichen 
läfst, bewies Fig. 29. 
Von ähnlicher allgemeiner Bedeutung für die vierfach statisch un 
bestimmten Tragwerke ist auch der für die Behandlung der letzten 
Aufgabe gewählte Gang, und es möge deshalb an dieses Beispiel 
noch eine kurze Betrachtung geknüpft werden, welche einen der 
vielen Wege zur planmäfsigen Ausdehnung unseres Verfahrens auf 
Fälle von höherem Grade statischer Unbestimmtheit andeutet. 
Zu diesem Zwecke denken wir unB den Bogenträger in Abb. 31 
rechts von E noch um mehrere Oeffnungen verlängert und nehmen 
an, dafs über sämtlichen Mittelstützen bewegliche Lager mit wage 
rechten Bahnen angeordnet, sind, an beiden Enden hingegen feste 
Auflagergelenke. Die beweglichen Auflager seien beseitigt, an ihre 
Stelle mögen lothrechte Stäbe treten, au welche in gleicher Weise 
wie an die Stäbe C F und D J noch weitere starre Stäbe und 
*) Abb. 34 ist in gröfserem Mafsstabe gezeichnet worden wie 
Abb. 33.
	        
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