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Volume Nr. 51A

Full text: Zentralblatt der Bauverwaltung (Public Domain) Issue 1889 (Public Domain)

Centralblatt der Bauverwalfcung. 
501 
Sr. 51** 
von X b ftillkürUch annehmen, nnd hierauf diejenige von X c recht 
winklig zur Richtung .der Verschiebung wählen, welche h infolge des 
Zustandes X b = — 1 erfährt. Dann gelten die Gleichungen: 
Pmdma + <?«t ~ dp 
da« 
■Pm^mb ~t“ $bt 
X a = 
x h - 
x,=» 
dj 
jPf»d m 
dw 
4" d^ 
dpp 
Die Werthe d a , dj, d c bedeuten bei nachgebenden Widerlagern, 
bezw. den Drehungswinkel der Scheibe ^(positiv im Sinne X a =—1) 
und die Verschiebungen von L im Sinne X b = — 1 und im Sinne 
A T , =?= — 1, wobei alle diese Bewegungen für den Fall eines relativ 
unverschieblichen rechten Widerlagers zu bestimmen sind. 
Anstatt A r & und X c zu ermitteln, kann man auch — genau wie 
bei der zweiten Lösung der vorigen Aufgabe — die Richtung und 
die Gröfse von K\ mittels des Verschiebungskreises für das Punkt- 
X a 
paar L, m finden, worauf dann die Lage von K\ durch e — 
bestimmt ist.*) 
4, Aufgabe, 
Ein über drei Oeffnungen gespannter Bogenträger (Abb. 26) be- 
sitze bei A und D feste, bei B und C bewegliche Auflagergelenke 
und sei in irgend einem Punkte m mit P m belastet. Der Träger ist 
dreifach statisch unbestimmt und geht nach Beseitigung der Stützen 
A und B in einen statisch bestimmten, bei C und D gelagerten 
Balken über. 
Zunächst denken wir uns die Widerlager A und B durch eine 
starre Scheibe W ersetzt, welche mit dem Träger durch das Gelenk 
A und den Stab EB verbünden ist. EB ist rechtwinklig zur Bahn 
des Auflagers B anzunehmen. Die in A und B angreifenden Stützen 
widerstände (welche mit A und B bezeichnet werden mögen) denken 
wir zur Mittelkraft K vereinigt und fügen in einem vorläufig be 
liebigen Punkte L der Scheibe TP* zwei entgegengesetzt gleiche, zu 
jener Mittelkraft parallele Rräfte von der Grüfte K hinzu. Die eine 
derselben bildet mit dem Stützenwiderstande K ein Paar, dessen 
Moment Ke — X a gesetzt werde, die andere :werde in zwei Seiten- 
kräfte X b , X c zerlegt — ganz so wie bei Lösung der Aufgabe 3» mit 
der sich auch die weitete Behandlung des vorliegenden Trägers deckt. 
Man zeichne den Verschiebungsplan für den Zustand X a — —1, be 
stimme für dies«; Angriffsweise den Drehpol der Scheibe ff'**), wähle 
diesen Pol zum Angriffspunkte von X b und X c , zeichne den Ver- 
schiebungsplan für den Zustand, X b = — 1, wobei die Richtung von 
Ä b nach Belieben angenommen werden darf, und führe hierauf X c 
rechtwinklig zu der. Verschiebung eih, welche L -infolge des 'Be* 
lastungszustandes X b — —1 erfährt. Schlieftlich berechne , -man 
X a , X bi X c mittels der Gleichungen (6): Will man Grijlse und Rich 
*) Für' den an beiden Enden eingespanaten Bögehträger ist die 
Aufgabe, drei Elaaticitätsgleichungen Uufzu&tellen, deven jede nur 
eine Unbekannte enthält,-schon mehrfach gelöst worden, und zwar 
unter der^ vereinfachende», Annahme symmetrischer Amordnung von 
Mohr (Zettschr. d. Arqh,- u. Ing.-V?r. zu Hannover, 1881). und KjEohn 
(Zeitschr. f. Baukunde. München), spdana ganz allgemein auf zweierlei 
Art vom Verfasser '(Zeitsehr.’ a. Arch. u. Ing.-Ver. zu Hannover, 1884 
und 1888). Die zweite Losung dös Verfassers 1 stimmt mit'der pben 
angegebenen im wesentliche^ 'überein und bietet, aufser grofser Ein 
fachheit und Allgemeinheit, noch den Vorzug, auch bei anderen drei- 1 
fach statisch Unbestimmten Trägem zum Ziele zu führen, Wie die Be 
handlung der folgenden Aufgdbedebrdn wird. > 
**) Die Darstellung der Verschiebungen der mit dem elastischen 
Träger verbundenen starren Stäbe. und Scheiben, ist gelegentlich der 
Lösung von Aufgabe 5 duxeb ein Beispiel erläutert worden. 
tung von K mitHülfe von Verschiebungskreisen bestimmen, so dürfen 
die Richtungen beider Kräfte X b , X c beliebig angenommen werden. 
Eine zweite Lösung der vorliegenden Aufgabe veranschaulicht 
die Abbildung (28). Das statisch bestimmte Hauptsystem ist hier 
ein einfacher Balken AD, der bei D ein festes, bei A ein auf wage 
rechter Bahn bewegliches Auflagergelenk besitzt und mit welchem die 
starre Scheibe fF durch die Stäbe AE, EF, BG, CH verbunden ist. 
Stab AE ist wagerecht angeordnet5 sein Endpunkt E wird in einer 
wagerechten Geraden geführt. Die Stäbe B G und CH sind recht 
winklig zu den Bahnen der Auflagergelenke B und C (Abb. 26). 
Die Richtung des Stabes EF darf mit AE jeden beliebigen Winkel 
mit Ausnahme von 90° bilden. Belastet man die Scheibe W mit dem 
Kräftepaare X a und den beiden in L angreifenden Einzelkräften 
X c , so werden in den Stäben GB, HC, EF, AE Spannkräfte 
hervorgerufen, die sich leicht anf statischem Wege "bestimmen lassen. 
Die Spannkräfte in BG und CH entsprechen den in den Stützpunkten 
B und C des Bogenträgers (Abb. 26) angreifenden Widerständen, 
die Spannkraft in AE ist gleich dem Horizontalschube des Bogens 
am Auflager A. Um X Q , X b , X c zu finden, zeichne man den. Ver- 
schiebungsplan für X^ =2 — 1, bestimme für diesen Fall den Drehpol h 
der Scheibe W, wähle L zum Angriffspunkte von X b und X c und 
nehme die Richtung von X b willkürlich an, hingegen die Richtung 
von X c rechtwinklig zu der Verschiebung, welche L infolge des Be 
lastungsfalles X b =— 1 erfahrt. Hierauf wände man die Gleichungen 
(5) an* 
Die dritte in Abb. 29 dargestellte Losung bietet Vortheile, sobald 
der Träger; symmetrisch ist in Bezug auf die Senkrechte durch seine 
Mitte. Das statisch .bestimmte Hauptsystem ist wieder ein bei A 
und J) aufliegender. Balken, mit welchem. zwei starre Scheiben I, 11 
durch die Stäbe 43,$E, CF verbunden sind. AJ liegt wagerecht, 
BE sowie CF senkrecht. Punkt 3 wird in einer wagerechten und 
Punkt E in einer senkrechten Geraden geführt. Der die beiden 
Scheiben verbindende Stab GH fällt mit deT Senkrechten durch die 
Trägermitte zusammen. . Kräfte X u und X bi die auf Scheibe 1 in 
irgend welcher Richtung und in irgend einem Punkte, wirken, rufen 
in den Stäben HA* und CF gleiche Spannkräfte hervor, was zur 
Folge Kfft) dafs die linke und rechte Trägerhälfte gleiche Bean 
spruchungen erfahren. Es genügt deshalb, die den Zuständen 
X a s== — 1 find X b sis —1 entsprechenden Kräftepläne für eirieTräger- 
häifte zti zetchtien. Auch für die Aufzeichnung der Verschiebungs- 
pläfae ergeben/sich“ aus dieser Symmetrie der Beanspruchung wesent 
liche Vereinfachungen. Wählt man die Richtung von X a beliebig, so 
wird manX b .rechtwinklig zu der Verschiebung des Punktes K infolge 
der Belastung' i annehmen. In beiden Belastangsfälleo 
X a = —1 und Xj asrr 1 erfahren .sämtliche Punkte der Scheibe lj 
eine gleich grofte, senkrecht. gerichtete Verschiebung; der Drehungs 
winkel der Scheibe 11 ergftbt sich also == 0. Aus diesem Grunde 
wird man als dritte statisch nicht, bestimmbare GrÖfse das Moment X 0 
eines an der Scheibe H angreifendea Kräftepaares annehmen, weil 
dairn, ff co und deft gleich. Null werden'und infolge dessen .auoli d« 
lind $bc verschwinden. Das Verschwinden der Gröfsen ö ab ~ 6 ba aber 
ist. bereits durch die Wahl der Richtung .von X b bewirkt worden. 
Es gelten also wieder die Gleichungen (5). -JsJoch sei hervorgehoben, 
dafs infolge von X c = — 1 in den Stäben ME und CF und deshalb 
auch in den einander entsprechenden Stäben der Unken und rechten
	        
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