Centralblatt der Bauverwalfcung.
501
Sr. 51**
von X b ftillkürUch annehmen, nnd hierauf diejenige von X c recht
winklig zur Richtung .der Verschiebung wählen, welche h infolge des
Zustandes X b = — 1 erfährt. Dann gelten die Gleichungen:
Pmdma + <?«t ~ dp
da«
■Pm^mb ~t“ $bt
X a =
x h -
x,=»
dj
jPf»d m
dw
4" d^
dpp
Die Werthe d a , dj, d c bedeuten bei nachgebenden Widerlagern,
bezw. den Drehungswinkel der Scheibe ^(positiv im Sinne X a =—1)
und die Verschiebungen von L im Sinne X b = — 1 und im Sinne
A T , =?= — 1, wobei alle diese Bewegungen für den Fall eines relativ
unverschieblichen rechten Widerlagers zu bestimmen sind.
Anstatt A r & und X c zu ermitteln, kann man auch — genau wie
bei der zweiten Lösung der vorigen Aufgabe — die Richtung und
die Gröfse von K\ mittels des Verschiebungskreises für das Punkt-
X a
paar L, m finden, worauf dann die Lage von K\ durch e —
bestimmt ist.*)
4, Aufgabe,
Ein über drei Oeffnungen gespannter Bogenträger (Abb. 26) be-
sitze bei A und D feste, bei B und C bewegliche Auflagergelenke
und sei in irgend einem Punkte m mit P m belastet. Der Träger ist
dreifach statisch unbestimmt und geht nach Beseitigung der Stützen
A und B in einen statisch bestimmten, bei C und D gelagerten
Balken über.
Zunächst denken wir uns die Widerlager A und B durch eine
starre Scheibe W ersetzt, welche mit dem Träger durch das Gelenk
A und den Stab EB verbünden ist. EB ist rechtwinklig zur Bahn
des Auflagers B anzunehmen. Die in A und B angreifenden Stützen
widerstände (welche mit A und B bezeichnet werden mögen) denken
wir zur Mittelkraft K vereinigt und fügen in einem vorläufig be
liebigen Punkte L der Scheibe TP* zwei entgegengesetzt gleiche, zu
jener Mittelkraft parallele Rräfte von der Grüfte K hinzu. Die eine
derselben bildet mit dem Stützenwiderstande K ein Paar, dessen
Moment Ke — X a gesetzt werde, die andere :werde in zwei Seiten-
kräfte X b , X c zerlegt — ganz so wie bei Lösung der Aufgabe 3» mit
der sich auch die weitete Behandlung des vorliegenden Trägers deckt.
Man zeichne den Verschiebungsplan für den Zustand X a — —1, be
stimme für dies«; Angriffsweise den Drehpol der Scheibe ff'**), wähle
diesen Pol zum Angriffspunkte von X b und X c , zeichne den Ver-
schiebungsplan für den Zustand, X b = — 1, wobei die Richtung von
Ä b nach Belieben angenommen werden darf, und führe hierauf X c
rechtwinklig zu der. Verschiebung eih, welche L -infolge des 'Be*
lastungszustandes X b — —1 erfährt. Schlieftlich berechne , -man
X a , X bi X c mittels der Gleichungen (6): Will man Grijlse und Rich
*) Für' den an beiden Enden eingespanaten Bögehträger ist die
Aufgabe, drei Elaaticitätsgleichungen Uufzu&tellen, deven jede nur
eine Unbekannte enthält,-schon mehrfach gelöst worden, und zwar
unter der^ vereinfachende», Annahme symmetrischer Amordnung von
Mohr (Zettschr. d. Arqh,- u. Ing.-V?r. zu Hannover, 1881). und KjEohn
(Zeitschr. f. Baukunde. München), spdana ganz allgemein auf zweierlei
Art vom Verfasser '(Zeitsehr.’ a. Arch. u. Ing.-Ver. zu Hannover, 1884
und 1888). Die zweite Losung dös Verfassers 1 stimmt mit'der pben
angegebenen im wesentliche^ 'überein und bietet, aufser grofser Ein
fachheit und Allgemeinheit, noch den Vorzug, auch bei anderen drei- 1
fach statisch Unbestimmten Trägem zum Ziele zu führen, Wie die Be
handlung der folgenden Aufgdbedebrdn wird. >
**) Die Darstellung der Verschiebungen der mit dem elastischen
Träger verbundenen starren Stäbe. und Scheiben, ist gelegentlich der
Lösung von Aufgabe 5 duxeb ein Beispiel erläutert worden.
tung von K mitHülfe von Verschiebungskreisen bestimmen, so dürfen
die Richtungen beider Kräfte X b , X c beliebig angenommen werden.
Eine zweite Lösung der vorliegenden Aufgabe veranschaulicht
die Abbildung (28). Das statisch bestimmte Hauptsystem ist hier
ein einfacher Balken AD, der bei D ein festes, bei A ein auf wage
rechter Bahn bewegliches Auflagergelenk besitzt und mit welchem die
starre Scheibe fF durch die Stäbe AE, EF, BG, CH verbunden ist.
Stab AE ist wagerecht angeordnet5 sein Endpunkt E wird in einer
wagerechten Geraden geführt. Die Stäbe B G und CH sind recht
winklig zu den Bahnen der Auflagergelenke B und C (Abb. 26).
Die Richtung des Stabes EF darf mit AE jeden beliebigen Winkel
mit Ausnahme von 90° bilden. Belastet man die Scheibe W mit dem
Kräftepaare X a und den beiden in L angreifenden Einzelkräften
X c , so werden in den Stäben GB, HC, EF, AE Spannkräfte
hervorgerufen, die sich leicht anf statischem Wege "bestimmen lassen.
Die Spannkräfte in BG und CH entsprechen den in den Stützpunkten
B und C des Bogenträgers (Abb. 26) angreifenden Widerständen,
die Spannkraft in AE ist gleich dem Horizontalschube des Bogens
am Auflager A. Um X Q , X b , X c zu finden, zeichne man den. Ver-
schiebungsplan für X^ =2 — 1, bestimme für diesen Fall den Drehpol h
der Scheibe W, wähle L zum Angriffspunkte von X b und X c und
nehme die Richtung von X b willkürlich an, hingegen die Richtung
von X c rechtwinklig zu der Verschiebung, welche L infolge des Be
lastungsfalles X b =— 1 erfahrt. Hierauf wände man die Gleichungen
(5) an*
Die dritte in Abb. 29 dargestellte Losung bietet Vortheile, sobald
der Träger; symmetrisch ist in Bezug auf die Senkrechte durch seine
Mitte. Das statisch .bestimmte Hauptsystem ist wieder ein bei A
und J) aufliegender. Balken, mit welchem. zwei starre Scheiben I, 11
durch die Stäbe 43,$E, CF verbunden sind. AJ liegt wagerecht,
BE sowie CF senkrecht. Punkt 3 wird in einer wagerechten und
Punkt E in einer senkrechten Geraden geführt. Der die beiden
Scheiben verbindende Stab GH fällt mit deT Senkrechten durch die
Trägermitte zusammen. . Kräfte X u und X bi die auf Scheibe 1 in
irgend welcher Richtung und in irgend einem Punkte, wirken, rufen
in den Stäben HA* und CF gleiche Spannkräfte hervor, was zur
Folge Kfft) dafs die linke und rechte Trägerhälfte gleiche Bean
spruchungen erfahren. Es genügt deshalb, die den Zuständen
X a s== — 1 find X b sis —1 entsprechenden Kräftepläne für eirieTräger-
häifte zti zetchtien. Auch für die Aufzeichnung der Verschiebungs-
pläfae ergeben/sich“ aus dieser Symmetrie der Beanspruchung wesent
liche Vereinfachungen. Wählt man die Richtung von X a beliebig, so
wird manX b .rechtwinklig zu der Verschiebung des Punktes K infolge
der Belastung' i annehmen. In beiden Belastangsfälleo
X a = —1 und Xj asrr 1 erfahren .sämtliche Punkte der Scheibe lj
eine gleich grofte, senkrecht. gerichtete Verschiebung; der Drehungs
winkel der Scheibe 11 ergftbt sich also == 0. Aus diesem Grunde
wird man als dritte statisch nicht, bestimmbare GrÖfse das Moment X 0
eines an der Scheibe H angreifendea Kräftepaares annehmen, weil
dairn, ff co und deft gleich. Null werden'und infolge dessen .auoli d«
lind $bc verschwinden. Das Verschwinden der Gröfsen ö ab ~ 6 ba aber
ist. bereits durch die Wahl der Richtung .von X b bewirkt worden.
Es gelten also wieder die Gleichungen (5). -JsJoch sei hervorgehoben,
dafs infolge von X c = — 1 in den Stäben ME und CF und deshalb
auch in den einander entsprechenden Stäben der Unken und rechten
